domingo, 10 de octubre de 2010

LEYES DE KIRCHHOFF


Existen circuitos  que son tan complejos que no pueden resolverse mediante la ley de Ohm, ya que tienen muchas ramas o fuentes de potencia, por lo tanto, se necesitan otros métodos para resolver circuitos complejos. Sin embargo, cualquier otro método aplicado, no debe violar la leu de Ohm, ya que esta es la base de la teoría de circuitos de corriente continua.
LEYES DE KIRCHHOFF
Se desarrollaron diversos métodos de resolución de circuitos complejos basados en los experimentos de un físico alemán llamado Gustav Kirchhoff, cuyas principales contribuciones científicas estuvieron en el campo de los circuitos eléctricos, la teoría de placas, la óptca, la espectroscopia y la emision de radiacion de cuarpo negro. Kirchhoff propuso el nombre de radiación de cuerpo negro en 1862. Es responsable de dos conjuntos de leyes fundamentales en la teoría clásica de circuitos eléctricos y en la emisión térmica. Aunque ambas se denominan Leyes de Kirchhoff, probablemente esta denominación es más común en el caso de las Leyes de Kirchhoff de la ingenieria eléctrica.
Estas leyes no inician una teoría nueva, sino que presentan un método de empleo de los principios ya conocidos. Alrededor de 1857 Kirchhoff llego a dos conclusiones como resultado de sus experimentos:
  • LKT o LKV: “la suma de las caídas de tensión en cualquier trayectoria cerrada es igual a la suma de las fuerzas electromotrices en esa trayectoria”.
  • LKC: “la corriente que llega a determinado punto de unión, o nodo, en un circuito es igual a la corriente que abandona ese punto”.
Las leyes de Kirchhoff son dos igualdades que se basan en la conservacion de la energia y la carga de los circuitos eléctricos.
Ambas leyes son muy utilizadas en ingeniería eléctrica para hallar corrientes y voltajes en cualquier punto de uncircuito eléctrico. Estas se pueden emplear para resolver tanto los circuitos reducibles como los circuitos irreducibles, calculando sus valores desconocidos  de voltajes, intensidades, resistencias, etc.
A pesar de su aparente sencillez, constituyen herramientas muy eficaces cuando se trata de resolver circuitos difíciles y complejos. Aunque estas leyes son sencillas en si, las matemáticas que se necesitan para aplicarlas se complican conforme los circuitos se hacen más complejos.
Método de resolución de problemas.
El empleo de las leyes de Kirchhoff para calcular los valores desconocidos de un circuito lleva consigo la resolución de varias ecuaciones simultáneas. Se dice que dos o más ecuaciones son simultáneas cuando representan las relaciones que hay entre cantidades desconocidas que existen en el mismo instante. Se resuelven eliminando una o más de las cantidades desconocidas empleando la adición, sustracción, sustitución o comparación. La resolución de problemas de circuitos que llevan consigo el planteamiento de ecuaciones simultáneas puede hacerse mejor empleando el siguiente procedimiento:
  1. Marcar todos los elementos del circuito con un nombre y un valor.
  2. Asignar a cada rama del circuito una dirección de corriente dibujando una flecha a lo largo de la rama que indique la dirección del flujo de electrones.
  3. 3.      Marcar todos los puntos de conexión de elementos del circuito con una letra de referencia.
  4. Escribir las ecuaciones de las intensidades para cada unión de tres o más elementos del circuito. Cuando se establezcan estas ecuaciones, las corrientes que entran en la unión se consideraran algebraicamente positivas y las que salen negativas.
  5. Escribir las ecuaciones de voltaje para cada camino cerrado del circuito. Indicar los voltajes desconocidos en función de las intensidades y resistencias. Indicar las polaridades de los voltajes. Cuando se establezcan las ecuaciones de los voltajes se deben seguir las siguientes reglas: a)    El voltaje de una fuente es positivo cuando la dirección de la corriente que pasa por el va del terminal negativo al positivo y negativo en caso contrario; y b) la polaridad del voltaje en una resistencia dependerá e la dirección del flujo de electrones dentro de ella. Cuando esta dirección es opuesta ala dirección en que se ha trazado el voltaje lazo, el voltaje de la resistencia es negativo. Cuando coinciden la dirección del flujo de electrones y la asignada al lazo, el voltaje es positivo.
  6. En las ecuaciones de corriente del paso 4 anotar el número de corrientes desconocidas. Resolver simultáneamente las ecuaciones de voltajes y corrientes. 
  7. Los voltajes desconocidos pueden determinarse empleando la ley de Ohm. 
  8. Comprobar las respuestas obtenidas sustituyendo sus valores en las ecuaciones de voltaje y corriente no empleadas de manera que todos los valores de las corriente desconocidas sean empleados al menos una vez.
Cuando se ha conseguido cierta practica en el empleo de las leyes de Kirchhoff, los pasos 4 y  se pueden reducir a poner solo aquellas ecuaciones que son necesarias para la resolución.
La aplicación de las leyes de Kirchhoff para hallar valores desconocidos en los circuitos mediante este procedimiento se puede explicar mejor mediante ejemplos.
Aplicación a circuitos reducibles.
El numero de ecuaciones independientes que pueden emplearse es siempre una menos que el numero total de nudos en el circuito. 
Ejemplo: 
Hallar la distribución de corrientes y las caídas de tensión en cada resistencia del circuito de la figura.
 
Solución:
Nudo C:
i1 + i2 – IT = 0     (Ecuación I)
Nudo F:
IT – i1 – i2 =0        (Ecuación II)
Lazo ABCDEFA:
Es – ITr1 – i1r2 – i1r3 – i1r4 = 0    (Ecuación III)
Si se toma en dirección opuesta el camino de este lazo, es decir AFEDCBA, entonces: i1r4 + i1r3 +i1r2 + ITr1 – Es = 0
Sustituyendo los valores conocidos en la ecuación III:
360 – 20IT – 20i1 – 48i1 – 52i1 = 0
Efectuando la reducción de términos semejantes:
360 – 20IT – 120i1 = 0 (Ecuación IV)
Lazo ABCFA:
Es – ITr1 – i2r5 – i2r6 = 0
360 – 20IT – 300i2 – 300i2 = 0
360 – 20IT – 600i2 = 0    (Ecuación V)
Lazo FCDEF:  
i2r6 + i2r5 – i1r2 – i1r3 – i1r4 = 0
300i2 + 300i2 – 20i1 – 48i1 – 52i1 = 0
600i2 – 120i1 = 0   (Ecuaciones VI)
Incógnitas básicas: IT, i1 e i2.
De  la ecuación I se despeja IT.
i1 + i2 – IT = 0
IT = i1 + i2
Sustituyendo i1 + i2 por IT en la ecuación IV.
360 – 20(i1 + i2) – 120i1 = 0
360 – 20i1 – 20i2 – 120i1 = 0
Reduciendo términos semejantes:
360 – 140i1 – 20i2 = 0      (Ecuación VII)
De la ecuación anterior se despeja una incógnita en función de la otra:
i1=  = 2.57 – 0.143i2   (Ecuación VIII)
Sustituyendo  el valor de i1 en la ecuación VI se puede hallar i2.
600i2 – 120(2.57 – 0.143i2) = 0
600i2 – 120(2.57) + 120(0.143i2) = 0
600i2 – 308.4 + 17.16i2 = 0
617.16i2 = 308.4
i2 =  = 0.4997 A
Sustituyendo el valor encontrado de i2 en la ecuación VIII se obtiene i1,
i1 = 2.57 – 0.143(0.4997) = 2.57 – 0.0714 = 2.4986 A. 2.5 A.
Sustituyendo los valores conocidos de i1 e i2 en la ecuación de IT:
IT = 2.5 + 0.5 = 3 A
Las caídas de tensión se pueden calcular mediante la ley de Ohm.
er1 = ITr1 = 3 x 20 = 60 V
er2 = i1r2 = 2.5 x 20 = 50 V
er3 = i1r3 = 2.5 x 48 = 120 V
er4 = i1r4 = 2.5 x 52 = 130 V
er5 = i2r5 = 0.5 x 300 = 150 V
er6 = i2r6 = 0.5 x 300 = 150 V
Aplicación a circuitos irreducibles. 
Hallar la distribución de intensidades y las caídas de tensión en cada resistencia del siguiente circuito.
 
Solución:
Se desconocen las direcciones de las corrientes por lo que se asigna cualquier dirección a las corrientes, recordando que de obtener una intensidad con signo negativo, este nos indicara que se escogió la dirección incorrecta, aun así la magnitud de la intensidad será correcta independientemente dela dirección escogida.
Basados en la figura, escribiendo todas las ecuaciones de intensidades y voltajes, sustituyendo valores conocidos y haciendo las combinaciones necesarias, se tiene para:
Nudo C:
i1 – i2 – i3 = 0 (Ecuación I)
Nudo D:
i2 – i4 – i5 = 0 (Ecuación II)
Nudo F:
i3 + i4 + i5 – i1 = 0 (Ecuación III)
Lazo ABCDEFA:
- Es1 + i1r1 + i2r2 – Es2 = 0
-90 + 15i1 + 60i2 – 30 = 0
-120 + 50i1 + 60i2 = 0 (Ecuación IV)
Lazo ABCFA:
- Es1 + i1r1 +i3r3 = 0
-90 + 15i1 + 30i3 = 0 (Ecuación V)
Lazo EDCFE:
Es2 – i2r2 + i3r3 = 0
30 – 60i2 + 30i3 = 0 (Ecuación VI)
Lazo CDFC:
i2r2 + i4r4 – i3r3 = 0
60i2 +12i4 + 30i3 = 0 (Ecuación VII)
Lazo EDFE:
Es2 + i4r4 = 0
30 + 12i4 = 0 (Ecuación VIII)
Lazo ABCDFA:
-Es1 + i1r1 + i2r2 + i4r4 = 0
-90 + 15i1 +60i2 + 12i4 = 0 (Ecuación IX)
Despejando i1 de Ecuación I:
i1 = i2 + i3 (Ecuación IA)
Despejando i2 de la ecuación II:
i2 = i4 + i5 (Ecuación IIA)
Ordenando ecuación V:
90 = 15i1 + 30i3 (Ecuación VA)
Sustituyendo la ecuación IA en VA:
90 = 15(i2 + i3) + 30i3
90 = 15i2 + 15i3 + 30i3
90 = 15i2 + 45i3
Despejando i2:
i2= = 6 – 3i3 (Ecuación X)
Despejando i3 en función de i2:
i3 = 2i2 – 1 (Ecuación XI)
Sustituyendo ecuación XI en ecuación X:
i2 = 6 – 3(2i2 – 1) = 6 – 6i2 + 3
7i2 = 9
i2 =  1.286 A
Sustituyendo valor de i2 en ecuación XI: i3 = 2(1.286) – 1 = 2.572 – 1
i3 = 1.572A.
Sustituyendo valores de i2 e i3 en  ecuación IA:
i1 =  – 2.5 A
* La dirección de i4 no fue la correcta pero el signo (-) se sigue utilizando para los cálculos en los que se vea involucrado i4.
Sustituyendo valores de i2 e i4 en ecuación IIA y despejando i5:
1.286 = – 2.5 + i5
I5 = 1.286 + 2.5 = 3.786 A
Determinando las caídas de tensión con ley de Ohm:
er1 = 2.858 x 15 = 42.87 V
er2 = 1.286 x 60 = 77.16 V
er3 = 1.572 x 30 = 47.16 V
er4 = 2.500 x 12 = 30.00 V
Comprobando: sustituir valores en ecuación III:
i3 + i4 + i5 – i1 = 1.572 – 2.5 + 3.786 – 2.858 = 0
Ley de Kirchhoff para corrientes (LKC).
En cualquier punto de unión o nodo de un circuito, la corriente que llega es igual a la corriente que sale. La corriente no puede originarse o acumularse en un punto o nodo. Por cada electrón que llega aun punto, debe salir otro. De no ser así, se originaria un potencial y la corriente finalmente cesaría cuando el potencial fuese igual al de la fuente de energía. Por lo tanto, si se asigna polaridad positiva a la corriente que entra a un punto y polaridad negativa a la corriente que sale de el, la suma algebraica de las corrientes en cualquier punto es igual a cero.
 
A partir de circuitos paralelos, la suma de las corrientes de las ramas es igual a la corriente total que entra a las ramas y también a la corriente total que sale de las ramas.
Esta ley se puede establecer algebraicamente como:
∑ IEntrada = ∑ ISalida, o bien:
∑ IEntrada – ∑ ISalida = 0
Para comprender mejor esta ley, podemos asemejarla a un caso cotidiano y simple, el agua que fluye por un sistema de tubería. La cantidad de líquido que sale es igual a la cantidad de agua que entra; los litros que entran por minuto debe ser igual a la cantidad de litros que salen por minuto. Esta útil es más práctica y útil en los circuitos en paralelo.
Aplicación de LKC.
La ley de Kirchhoff de corriente no suele aplicarse sola, sino en compañía de la LKT al resolver un problema. Esto se demuestra con el siguiente ejemplo:
 
Encontrar la corriente que fluye a través de la resistencia de 3Ω en el circuito, mediante las leyes de Kirchhoff.
Solución:
Existen dos trayectorias en este circuito: ABCDEFA y ABGHEFA.
Aplicando LKT a ambas trayectorias:
2ITOT + 6 I1 = 6 (Ecuación I)
2ITOT + 3I2 = 6 (Ecuación II)
ITOT = i1 + i2
Por lo que sustituyendo ITOT en ecuación I y II obtenemos:
8I1 + 2I2 = 6 (Ecuación III)
2I1 + 5 I2 = 6 (Ecuación IV)
Ahora debe eliminarse I1 para encontrar I2:
  8I1 + 20I2 = 24
-(8I1 + 2I2   =  6)
           18I2 = 18
La corriente I2  a través del resistor 3Ω es:
18I2 = 18
I2 =  1A
* Este circuito también podría haber sido  resuelto mediante ley de Ohm, inténtalo.
Ley de Kirchhoff para tensiones o voltajes (LKT o LKV).
La ley de Voltaje de Kirchhoff solo se puede aplicar a mallas cerradas. Indica la relación entre las caídas de tensión en cualquier trayectoria cerrada de un circuito y las fuentes de tensión en esa trayectoria. Los totales de estas dos cantidades siempre son iguales. Es particularmente útil en circuitos en serie. También se expresa como “la suma de las caídas de tensión o voltaje a lo largo de una trayectoria cerrada en un circuito, es igual a cero”.
 
Se expresa matemáticamente como:
∑ EFUENTE = ∑IR
Las polaridades de referencia para las tensiones en cada uno de los elementos de un circuito, son seleccionadas al recorrer un lazo en el sentido de las manecillas del reloj. Si al finalizar el calculo de un circuito obtenemos un resultado negativo, solo esta indicando que la fuente de referencia se tomo erróneamente y que la polaridad real esta con el signo o polo positivo en la parte superior.
La ecuación de LKC da como resultado una caída negativa, es decir  elevación de voltaje.
Una analogía que nos puede servir para la mejor comprensión de los caídos o elevaciones de voltaje es lo que implica recorrer una trayectoria sobre el suelo. Subiendo y bajando por el suelo un caminante llega finalmente de regreso al punto de partida puesto que no hubo una ganancia neta en la altura, la suma de las caídas o descensos negativos, que equivalen a una elevación, debe ser cero.
Aplicación de la LKT
 
Cuando los circuitos a resolver son simples, la LKT corresponde ala Ley de Ohm. Por ejemplo, en el circuito A, la cantidad de corriente simplemente se calcula con la ecuación EFUENTE = IR.
60 = 20I + 10I
60 = 30I
I =  2A
En cambio, al haber dos fuentes de tensión en el circuito B al no tener la dirección de la corriente se corre el riesgo de elegir la errónea; si suponemos que la Intensidad gira en el sentido de la manecilla del reloj, la corriente en B seria con la ecuación ∑EFUENTE = ∑IR.
60 – 75 = 20I + 10I
-15 = 30I
I =  -0.5 A
Por lo tanto en el circuito B, la corriente es de 0.5 A pero en la dirección contraria a la elegida.

Glosario.
  • Circuito reducible. Circuitos que pueden ser reducidos a un circuito sencillo, de una sola resistencia equivalente con una sola fuente de alimentación.
  • Circuitos irreducibles. No se pueden convertir en circuitos sencillos; los hay de dos tipos:
  • Los que contienen una sola fuente de alimentación.
  •   Los que tienen más de una sola.
  • Nodo. Unión de dos o más conductores.
  • Lazo. Cualquier trayectoria cerrada en un circuito.
  • Malla. Designación de un lazo que no tiene ramas que lo atraviesen.


                 Características mallas cerradas:
  • Debe tener una o más fuentes de voltaje.
  • Debe tener una trayectoria completa para que la corriente fluya de cualquier punto en la malla, regresando al mismo.
 
  • Gustav Kirchhoff.
Para conocer más sobre este personaje: 
http://www.biografiasyvidas.com/biografia/k/kirchhoff.htm 
 
Bibliografía: 
Libros.
  • Introducción  a la Ingeniería Eléctrica. William H. Roadstrum y Dan H. Wolaver.
  • Electricidad. Harry Mileaf. Editorial Limusa.
  • Teoría de Circuitos: fundamentos. Enrique Ras. Editorial Alfaomega.
  • Fundamento de Electricidad - Electrónica / M. Slurzberg, W. Osterheld. Editorial Mc Graw Hill.
Internet.


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